Дори без сериозна научна подготовка можем да стигнем до заключението, че ако имаме два обекта с еднаква температура, но с различни размери, то по-големия ще излъчва повече енергия от по-малкия. Ако две звезди имат еднаква температура, то по-голямата ще излъчва повече енергия и ще има по-голяма светимост. Следователно ако знаем температурата на дадена звезда, можем да определим размера й чрез измерване на излъчваната от нея енергия. За да определим радиуса на звездата, обаче, ни е нужна математическа връзка между светимост, температура и радиус – релация известна като закон на Щефан-Болцман.
Закон на Щефан-Болцман
Представете си, че наблюдавате
загряването електрически котлон. Когато е пуснат на слаба степен той е
относително хладен, свети тъмно червено и излъчва малко количество топлина.
Ако превключим котлона на висока степен той ще стане много горещ, ще свети
ярко жълто-оранжево и ще отдава доста повече топлина. Тези наблюдения могат
да доведат до следното заключение: с повишаването на температурата на едно
тяло се увеличава отдаваното за единица време излъчване – светимостта.
Законът зад простия ни пример е заключен към края на 19 век от двама немски
учени – Йозеф Щефан и Людвиг Болцман, които показали че светимостта на
горещите обекти зависи от температурата им.
Според закона на Щефан-Болцман,
всеки квадратен метър от тяло с температура Т всяка секунда излъчва енергия
равна на sТ4
(фиг. 1). s
е константата на Щефан-Болцман, чиято стойност е 5.6 х 10-8
вата
m-2
K-4.
Законът математически обяснява
наблюденията ни за котлона и лежи в основата на системите за намаляване на
силата на осветлението – при промяната на електричеството, преминаващо през
крушката се намалява температурата й и съответно светимостта й. Дискутирания от
нас закон, обаче, не е приложим за всички горещи обекти. Той например не
обяснява много точно излъчването от горещ неплътен газ като този от
флуоресцентните лампи или междузвездните облаци.
Можем да приложим закона на
Щефан-Болцман за да определим светимостта на звезда. Според закона, ако
звезда има температура Т, то всеки квадратен метър от повърхността й, всяка
секунда ще излъчва енергия равна на
sТ4.
Можем да намерим общата енергия, излъчвана от звездата за една секунда (L,
светимостта й) като
умножим енергията от всеки квадратен метър по общия брой квадратни метри от
повърхността на звездата. Ако приемем, че звездата е сфера то повърхността й
е
4pR2,
където
R е радиуса й. Следователно
за свтимостта (L)
получваме следното:
L = 4pR2sТ4
фиг. 1
Общата енергия, излъчвана от звездата за една секунда е нейната светимост -
L. L =
енергията, излъчвана от всеки
квадратен метър х броя
квадратни метри. съдържащи се в повърхността =
sТ4
х повърхността на звездата.
Можем да приемем, че звездата е сфера, а сфера с радиус R
има площ
4pR2.
Следователно
L =
4pR2
х sТ4
.
Или обяснено с думи – светимостта на една звезда е равна на повърхността й,
умножена по sТ4.
Тази релация между
L, R и T може, на пръв поглед, да изглежда сложна, но
съдържанието й е просто: увеличаването на температурата и/или радиуса прави
звездата по-ярка. Увеличаването на Т прави всеки квадратен метър от
повърхността по-ярък, докато с увеличаването на R се увеличава общия брой
квадратни метри. И в двата случая имаме увеличаване на светимостта.
В горния израз
L
се измерва във ватове, но тъй като мощността на звездите е толкова голяма е
по-удобно да използваме светимостта на Слънцето
като стандартна единица. По-подобен начин е по-удобно да използваме радиуса
на Слънцето като стандартна единица за размер вместо метри или километри.
Ако искаме да преобразуваме даден резултат в километри или ватове само
трябва да помним, че слънчевата светимост,
L¤
= 4 x 1026
вата, а слънчевия радиус,
R¤
= 7 x 105
километра.
Вече знаем, че
светимостта на една звезда зависи от радиуса и температурата й. Следователно
ако знаем температурата и светимостта можем да изчислим радиуса – R. Просто
прилагаме закона Щефан-Болцман във формата му за R (R = √(L
/
4psТ4)
и остава само да направим изчисленията.
Thomas T. Arny
EXPLORATIONS - AN INTRODUCTION TO ASTRONOMY
323-325 стр.
Mosby, 1996